Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果AD=5，AE=4，求AC长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，如图1所示：

∵AD为∠CAB的平分线，

∴∠CAD=∠BAD，

又∵OA=OD，

∴∠BAD=ODA，

∴∠CAD=∠ODA，

∴AC∥OD，

∴∠E+∠EDO=180°，

又∵AE⊥ED，即∠E=90°，

∴∠EDO=90°，

则ED为圆O的切线

（2）解：连接BD，如图2所示，过点A作AF⊥AC，

∵AB为圆O的直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ABD中，cos∠DAB= ，

在Rt△AED中，AE=4，AD=5，

∴cos∠EAD= = ，又∠EAD=∠DAB，

∴cos∠DAB=cos∠EAD= = ，

则AB= AD= ，即圆的直径为 ，

∴AO= ，

∵∠E=∠EDO=∠EFO=90°，

∴四边形EFOD是矩形，

∴OF=DE=3，

∴AF= = ，

∴AC=2AF= ．

【解析】（1）连接OD，由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD，得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行可得AE与OD平行，由两直线平行同旁内角互补，得到∠E与∠EDO互补，再由∠E为直角，可得∠EDO为直角，即DE为圆O的切线，得证；（2）连接BD，过点A作AF⊥AC，由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADB为直角，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义得到cos∠DAB的值，又在直角三角形AED中，由AE及AD的长，利用锐角三角函数定义求出cos∠EAD的值，由∠EAD=∠DAB，得到cos∠EAD=cos∠DAB，得出cos∠DAB的值，即可求出直径AB的长，由勾股定理和垂径定理即可求出AC长．