Question

【题目】已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．

（1）直接写出图1中所有的等腰三角形，并指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？
（2）在（1）的条件下，若AB=10，AC=15，求△AEF的周长．
（3）如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，请问（1）中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：有2个等腰三角形分别是:等腰△OBE和等腰△OCF,
EF=BE+CF．
（2）解：△AEF的周长为AE+AF+EF=AE+AF+OE+OF=AE+AF+BE+CF=AB+AC=25
（3）解：（1）中EF与BE,CF间的关系不存在,新的数量关系为:EF=BE－CF,
证明:由BO平分∠ABC及OE∥BC可证BE=EO,
由CO平分∠ACG及OE∥BC可证CF=FO,
而EO=EF+OF,则EF=EO－OF=BE－CF
【解析】（1） 根据已知条件∠B、∠C的平分线相交于点O，及EF∥BC，可证得∠EBO=∠EOB，∠FCO=∠FOC，得出OE=BE，OF=FC，即可证得△OBE和△OCF是等腰三角形，及EF=BE+CF。
（2）由（1）可知EF=BE+CF，得出△AEF的周长=AB+AC，代入计算即可得出结果。
（3）根据已知条件可知新的数量关系为:EF=BE－CF，先证明BE=EO，CF=FO，再由EO=EF+OF，就可得出EF==BE－CF。