Question

【题目】已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA中点，点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动，设运动时间为t秒．

（1）△ODP的面积S=________．

（2）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？

（3）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）若△OPD为等腰三角形，请写出所有满足条件的点P的坐标（请直接写出答案，不必写过程）

Answer 1

【答案】（1）10；（2）5；（3）（8，4）；（4）满足条件的点P的坐标为P1（3，4），P2（2.5，4），P3（2，4），P4（8，4）.

【解析】

试题（1）根据三角形的面积公式即可求出△ODP的面积S；

（2）由于PB∥OD，根据平行四边形的判定可知当PB=OD=5时，四边形PODB是平行四边形，再求出PC=5，从而求出t的值；

（3）根据菱形的判定，当OD=OP=PQ=5时，四边形ODQP为菱形，在Rt△OPC中，利用勾股定理求出CP的值，进而求出t的值及Q点的坐标；

（4）当△OPD为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①如果O为顶点，那么OP=OD=5，②如果P为顶点，那么PO=PD，③如果D为顶点，那么DP=DO=5，分别做辅助线，利用勾股定理求出P点的坐标.

试题解析：（1）∵O为坐标原点，A（10，0），四边形OABC为矩形，C（0，4），

∴OA=BC=10，OC=4，

∵点D是OA中点，

∴OD=DA= OA=5，

∴△ODP的面积S= ODOC= ×5×4=10．

（2）解：∵PB∥OD，

∴当PB=OD时，四边形PODB是平行四边形，

∵OD=5，

∴PB=5，

∴PC=BC﹣PB=10﹣5=5，

∵点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动，

∴t=5

（3）解：当OD=OP=PQ=5时，ODQP为菱形，

在Rt△OPC中，由勾股定理得：

PC= = =3，

∴t=3，CQ=CP+PQ=3+5=8，

∴Q点的坐标为（8，4）

（4）解：△OPD为等腰三角形时，分三种情况：

①如果O为顶点，那么OP=OD=5，

由勾股定理可以求得PC=3，此时P1（3，4）；

②如果P为顶点，那么PO=PD，

作PE⊥OA于E，则OE=ED=2.5，此时P2（2.5，4）；

③如果D为顶点，那么DP=DO=5，

作DF⊥BC于F，由勾股定理，得PF=3，

∴P3C=5﹣3=2或P4C=5+3=8，此时P3（2，4），P4（8，4）．

综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（3，4），P2（2.5，4），P3（2，4），P4（8，4）．