Question

【题目】如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AE于点E．

（1）求证：△BEF∽△DBC．；
（2）若⊙O的半径为3，∠C=32°，求BE的长．（精确到0.01）

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OB．

∵过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，

∴OB⊥AE，

∴∠OBE=∠EBF+∠CBO=90°．

∵CD为⊙O的直径

∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，

∴∠EBF=∠OBD．

∵OB、OD是⊙O的半径，

∴OB=OD，

∴∠OBD=∠CDB，

∴∠EBF=∠CDB．

∵OE∥BD，

∴∠EFB=∠CBD

∴△BEF∽△DBC

（2）解：∵由（1）可知△BEF∽△DBC

∴∠OBE=90°，

∴∠E=∠C．

∵∠C=32°，

∴∠E=∠C=32°．

∵⊙O的半径为3，

∴OB=3．

在Rt△BOE中，∠OBE=90°，∠E=32°，OB=3，

∴tanE= ，即tan32°= ，

∴BE= ≈4.80．

【解析】（1）连接OB，由切线的性质得出OB⊥AE，故可得出∠OBE=∠EBF+∠CBO=90°．再由圆周角定理得出∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，故∠EBF=∠OBD．根据等腰三角形的性质可知∠OBD=∠CDB，故∠EBF=∠CDB，进而可得出结论；（2）由（1）可知△BEF∽△DBC，所以∠OBE=90°，∠E=∠C．在Rt△BOE中，利用锐角三角函数的定义即可得出结论．
【考点精析】掌握切线的性质定理和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．