Question

【题目】如图，BE、CF是△ABC的高且相交于点P，AQ∥BC交CF延长线于点Q，若有BP=AC，CQ=AB，线段AP与AQ的关系如何？说明理由。

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】试题分析：

由BE、CF是△ABC的高，易得∠ABP+∠BPF=90°，∠ACP+∠CPE=90°，结合∠BPF=∠CPE，易得∠ABP=∠ACP，这样结合BP=AC，CQ=AB，即可由“SAS”证得△ACQ≌△PBA，从而可得AP=AQ，∠Q=∠PAF，结合∠PAF+∠APF=90°，可得：∠APF+∠Q=90°，即可得到∠QAP=90°，从而可得AQ⊥AP，由此即可得到AQ与AP的关系是相等且互相垂直.

试题解析：

AQ与AP的关系是：相等且互相垂直，理由如下：

∵BE、CF是△ABC的高，

∴∠BFP=∠CEP=90°，

∴∠ABP+∠BPF=90°，∠ACP+∠CPE=90°，

又∵∠BPF=∠CPE，

∴∠ABP=∠ACP，

在△ACQ和△PBA中：

，

∴△ACQ≌△PBA（SAS），

∴AP=AQ，∠Q=∠PAF，

∵∠PAF+∠APF=90°，

∴∠APF+∠Q=90°，

∴AP⊥AQ，即：AQ与AP的关系是相等且互相垂直.