Question

【题目】如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=﹣ x+b过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；

（3）连接OF、OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明；

（4）若点P是x轴上的动点，点Q是（1）中的反比例函数在第一象限图象上的动点，且使得△PDQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）反比例函数的解析式y=； （2）点F的坐标为（2，4）；（3）∠AOF=∠EOC， 理由见解析；（4）P的坐标是（ ，0）或（﹣5，0）．

【解析】试题分析：（1）设反比例函数的解析式为y= ，把点E（3，4）代入即可求出k的值，进而得出结论；

（2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（4，3），由点D在直线y=- x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标；

（3）在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG．设直线EG的解析式为y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直线EG的解析式，故可得出H点的坐标，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5，可知OC=OE，即OG是等腰三角形底边EF上的中线．所以OG是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论；

（4）分△PDQ的三个角分别是直角，三种情况进行讨论，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，即可构造全等的直角三角形，设出P的坐标，根据点在图象上，则一定满足函数的解析式即可求解．

试题解析：（1）设反比例函数的解析式y= ，

∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴4= ，即k=12，

∴反比例函数的解析式y=；

（2）∵正方形AOCB的边长为4，

∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．

∵点D在反比例函数的图象上，

∴点D的纵坐标为3，即D（4，3），

∵点D在直线y=﹣ x+b上，

∴3=﹣×4+b，

解得：b=5，

∴直线DF为y=﹣x+5，

将y=4代入y=﹣x+5，得4=﹣x+5，

解得：x=2，

∴点F的坐标为（2，4）；

（3）∠AOF=∠EOC，

理由如下：在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，

∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=90°，AF=CG=2，

∴△OAF≌△OCG（SAS）．

∴∠AOF=∠COG．

∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=90°，BG=CG=2，

∴△EGB≌△HGC（ASA）．∴EG=HG．

设直线EG：y=mx+n，

∵E（3，4），G（4，2），

∴ ，解得 ，

∴直线EG：y=﹣2x+10．

令y=﹣2x+10=0，得x=5．

∴H（5，0），OH=5．

在Rt△AOE中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5．

∴OH=OE．

∴OG是等腰三角形底边EH上的中线．

∴OG是等腰三角形顶角的平分线．

∴∠EOG=∠GOH．

∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF=∠EOC；

（4）P的坐标是（ ，0）或（﹣5，0）．

当Q在D的右侧（如图1），且∠PDQ=90°时，作DK⊥x轴，作QL⊥DK，于点L．

则△DPK≌△QDK，

设P的坐标是（a，0），则KP=DL=4﹣a，QL=DK=3，则Q的坐标是（4+3，4﹣3+a）即（7，﹣1+a），

把（7，﹣1+a）代入y= 得：7（﹣1+a）=12，

解得：a=，

则P的坐标是（，0）；

当Q在D的左侧（如图2），且∠PDQ=90°时，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，

则△QDL≌△PDK，

则DK=DL=3，设P的坐标是b，则PK=QL=4﹣b，则QR=4﹣b+3=7﹣b，OR=OK﹣DL=4﹣3=1，

则Q的坐标是（1，7﹣b），代入y=得：b=﹣5，则P的坐标是（﹣5，0）；

总之，P的坐标是（，0）或（﹣5，0）．