Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）先根据平行四边形性质以及角平分线性质，可得：AF//BE，∠AEB=∠BAE，∠AFB=∠ABF.根据等腰三角形性质可得：AB=BE，AF=AB.根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形ABEF是平行四边形，再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”证得平行四边形ABEF是菱形.

（2）作PH⊥AD于H.根据角的正切值的定义得tan∠ADP= .根据菱形的性质，利用特殊角的三角函数，求得AH、PH长度，再根据HD=ADAH，即可得出tan∠ADP的值.

证明：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC

∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF

∵AD//BC

∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF

∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF

∴AB=BE AB=AF

∴AF=AB=BE

∵AD//BC

∴ABEF为平行四边形

又AB=BE

∴ABEF为菱形

（2）如图所示，作PH⊥AD于H.

∵四边形ABEF是菱形，且∠ABC=60°，

∴△ABE为等边三角形，

∴∠FAE=60°，AE=AB=4，

则AP=AE=2

在Rt△APH中，由三角函数得：

PH=APsin60°=3 ，

AH=APcos60°=1，

∴HD=ADAH=5,

因此tan∠ADP= =