Question

【题目】如图1，正方形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y=a（x﹣2）2﹣1经过点A、B，与x相交于点E、F，且其顶点M在CD上．

（1）请直接写出点A的坐标 ，并写出a的值 ；

（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2．

①当线段PH=2GH时，求点P的坐标；

②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH周长的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（0，3）；2；（2）①点P的坐标为（3，0）或（﹣1，8）．②．

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线的对称性、抛物线的顶点坐标以及正方形四边都相等的性质解答；

（2）①根据待定系数法可得直线BD的解析式，设点P的坐标为（x，x2﹣4x+3），则点H（x，x﹣1），点G（x，3）．分三种情况：i）当x≥1且x≠4时；ii）当0＜x＜1时；iii）当x＜0时；三种情况讨论可得点P的坐标；

②根据相似三角形的性质可得S△KPH=PH2=（﹣x2+5x﹣4）2，再根据二次函数的增减性可得△KPH面积的最大值．

解：（1）如图1，∵抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，顶点是M，

∴M（2，﹣1）．

又∵四边形ABCD是正方形，

∴OD=1，DC=BC=AB=AD=4，

∴A（0，3）．

把A（0，3）代入y=a（x﹣2）2﹣1，得

3=a（0﹣2）2﹣1，

解得a=2．

故答案是：（0，3）；2；

（2）①设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），由于直线BD经过D（0，﹣1），B（4，3），

则，

解得，

故直线BD的解析式为y=x﹣1．

设点P的坐标为（x，x2﹣4x+3），则点H（x，x﹣1），点G（x，3）．

i）当x≥1且x≠4时，点G在PH的延长线上，如图2．

∵PH=2GH，

∴（x﹣1）﹣（x2﹣4x+3）=2[3﹣（x﹣1）]，

∴x2﹣7x+12=0，

解得x1=3，x2=4．

当x2=4时，点P，H，G重合于点B，舍去．

∴x=3．

∴此时点P的坐标为（3，0）．

ii）当0＜x＜1时，点G在PH的反向延长线上，如图3，PH=2GH不成立．

iii）当x＜0时，点G在线段PH上，如图4．

∵PH=2GH，

∴（x2﹣4x+3）﹣（x﹣1）=2[3﹣（x﹣1）]，

∴x2﹣3x﹣4=0，解得x1=﹣1，x2=4（舍去），

∴x=﹣1．此时点P的坐标为（﹣1，8）．

综上所述可知，点P的坐标为（3，0）或（﹣1，8）．

②如图5，令x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，

∴E（1，0），F（3，0），

∴EF=2．

∴S△AEF=EFOA=3．

∵△KPH∽△AEF，

∴=（）2，

∴S△KPH=PH2=（﹣x2+5x﹣4）2．

∵1＜x＜4，

∴当x=时，S△KPH的最大值为．