Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC．

∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD=90°．

∴∠OCA+∠ACD=90°．

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC．

∵∠DAC=∠ACD，∠OCA+∠DAC=90°

∴∠0AC+∠CAD=90°．

∴∠OAD=90°．

∴AD是⊙O的切线．

（2）解：连接BG；

∵OC=6cm，EC=8cm，

∴在Rt△CEO中，OE= =10．

∴AE=OE+OA=16．

∵AF⊥ED，

∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．

∴Rt△AEF∽Rt△OEC．

∴ = ．

即： = ．

∴AF=9.6．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AGB=90°．

∴∠AGB=∠AFE．

∵∠BAG=∠EAF，

∴Rt△ABG∽Rt△AEF．

∴ = ．

即： = ．

∴AG=7.2．

∴GF=AF﹣AG=9.6﹣7.2=2.4（cm）．

【解析】（1）连接OC．欲证AD是⊙O的切线，只需证明OA⊥AD即可；（2）连接BG．在Rt△CEO中利用勾股定理求得OE=10，从而求得AE=13；然后由相似三角形Rt△AEF∽Rt△OEC的对应边成比例求得AF=9.6，再利用圆周角定理证得Rt△ABG∽Rt△AEF，根据相似三角形的对应边成比例求得AG=7.2，所以GF=AF﹣AG=9.6﹣7.2=2.4．