Question

【题目】如图，正方形ABCD（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD向点D运动；点Q从点D同时出发，以相同的速度沿射线AD方向向右运动，当点P到达点D时，点Q也停止运动，连接BP，过点P作BP的垂线交过点Q平行于CD的直线l于点E，BE于CD相交于点F，连接PF，设点P运动时间为t（s），

（1）求∠PBE的度数；

（2）当t为何值时，△PQF是以PF为腰的等腰三角形？

（3）试探索在运动过程中△PDF的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）t=2s或4s时，△PFQ是以PF为腰的等腰三角形（3）△PDF的周长是定值

【解析】试题分析：（1）如图1中，只要证明△ABP≌△QPE，推出PB=PE即可求解．
（2）如图2中，分两种情形讨论①当AP=PD时，可以推出△PFQ是等腰三角形，此时t=2．
②当点P与点D重合时，PF=CD=AD=DQ，△PFQ是等腰三角形，此时t=4．
（3）如图3中，△PDF的周长是定值．将△BCF绕点B顺时针旋转90°得到△BAG，只要证明△PBG≌△PBF，推出PF=PG，推出PF=PA+AG=PA+CF，由此即可证明．

试题解析：

（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠A=90°，

∵AP=DQ，

∴AD=PQ=AB，

∵PB⊥PE，

∴∠BPE=90°，

∴∠ABP+∠APB=90°，∠APB+∠EPQ=90°，

∴∠ABP=∠EPQ，

∴△ABP≌△QPE，

∴PB=PE，

∴∠PBE=∠PEB=45°．

（2）如图2中，

①当AP=PD时，

∵AP=DQ，

∴DP=DQ，

∵FD⊥PQ，

∴PF=FQ，

∴△PFQ是等腰三角形，此时t=2．

②当点P与点D重合时，PF=CD=AD=DQ，△PFQ是等腰三角形，此时t=4．

综上所述，t=2s或4s时，△PFQ是以PF为腰的等腰三角形．

（3）如图3中，△PDF的周长是定值．

将△BCF绕点B顺时针旋转90°得到△BAG．

∵∠PBE=45°，∠ABC=90°，

∴∠ABP+∠CBF=∠ABP+∠ABG=45°，

∴∠PBG=∠PBF，

在△PBG和△PBF中，

，

∴△PBG≌△PBF，

∴PF=PG，

∴PF=PA+AG=PA+CF，

∴△PDF的周长=PF+DP+DF=（PA+DP）+（DF+CF）=AD+CD=8．

∴△PDF的周长为定值．