Question

【题目】如图，已知抛物线y=mx2﹣6mx+5m与x轴交于A、B两点，以AB为直径的⊙P经过该抛物线的顶点C，直线l∥ x轴，交该抛物线于M、N两点，交⊙ P与E、F两点，若EF=2 ，则MN的长是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】过点P作PH⊥EF于点H，连接EP，

∵y=mx2﹣6mx+5m=m（x2-6x+5）=m（x-1）（x-5），
∴A（1，0），B（5，0），
∴C（3，-4m），P（3，0），AB=5-1=4，
∴⊙P的半径为2，
∴AP=PC
即4m=2，
∴m=，
∴函数解析式为：y=x2-3x+，
又∵EF=2，PH⊥EF，
∴EH=，
∴EP2=EH2+PH2，
∴22=（）2+PH2，
∴PH=1，
令y=1，
∴1=x2-3x+，
∴x2-6x+3=0，
∴x1=3+，x2=3-，
∴M（3-，1），N（3+，1），
∴MN=（3+）-（3-）=2

所以答案是： .

【考点精析】掌握勾股定理的概念和垂径定理是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．