Question

【题目】如图，AD∥BC，∠D=90°．
（1）如图1，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？
（2）如图2，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB=35°，求∠PAD的度数为多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：点P是线段CD的中点．理由如下：

过点P作PE⊥AB于E，

∵AD∥BC，∠D=90°，

∴∠C=180°﹣∠D=90°，即PC⊥BC，

∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，

∴PD=PE，PC=PE，

∴PC=PD，

∴点P是线段CD的中点；

（2）解：过点P作PE⊥AB于E，

∵AD∥BC，∠D=90°，

∴∠C=180°﹣∠D=90°，即PC⊥BC．

在△PBE与△PBC中，

，

∴△PBE≌△PBC（AAS），

∴∠EPB=∠CPB=35°，PE=PC，

∵PC=PD，

∴PD=PE，

在Rt△PAD与Rt△PAE中，

，

∴Rt△PAD≌Rt△PAE（HL），

∴∠APD=∠APE，

∵∠APD+∠APE=180°﹣2×35°=110°，

∴∠APD=55°，

∴∠PAD=90°﹣∠APD=35°．

【解析】（1）过点P作PE⊥AB于E，根据平行线的性质求出∠C=90°，即PC⊥BC，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE，PC=PE，从而得到PC=PD，然后根据线段中点的定义解答；（2）过点P作PE⊥AB于E，根据平行线的性质求出∠C=90°，即PC⊥BC，利用AAS证明△PBE≌△PBC，得出∠EPB=∠CPB=35°，PE=PC，由PC=PD，等量代换得到PD=PE，再根据HL证明Rt△PAD≌Rt△PAE，得出∠APD=∠APE=55°，那么∠PAD=90°﹣∠APD=35°．
【考点精析】利用角平分线的性质定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．