Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上．∠OAB=90°且OA=AB，OB，OC的长分别是一元二次方程x2﹣11x+30=0的两个根（OB＞OC）．

（1）求点A和点B的坐标．
（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=4时，直线l恰好过点C．当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式．
（3）当m=3.5时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵方程x2﹣11x+30=0的解为x1=5，x2=6，

∴OB=6，OC=5，

∴B点坐标为（6，0），

作AM⊥x轴于M，如图，

∵∠OAB=90°且OA=AB，

∴△AOB为等腰直角三角形，

∴OM=BM=AM= OB=3，

∴B点坐标为（3，3）；

（2）

解：作CN⊥x轴于N，如图，

∵t=4时，直线l恰好过点C，

∴ON=4，

在Rt△OCN中，CN= = =3，

∴C点坐标为（4，﹣3），

设直线OC的解析式为y=kx，

把C（4，﹣3）代入得4k=﹣3，解得k=﹣ ，

∴直线OC的解析式为y=﹣ x，

设直线OA的解析式为y=ax，

把A（3，3）代入得3a=3，解得a=1，

∴直线OA的解析式为y=x，

∵P（t，0）（0＜t＜3），

∴Q（t，t），R（t，﹣ t），

∴QR=t﹣（﹣ t）= t，

即m= t（0＜t＜3）；

（3）

解：设直线AB的解析式为y=px+q，

把A（3，3），B（6，0）代入得 ，解得 ，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+6，

同理可得直线BC的解析式为y= x﹣9，

当0＜t＜3时，m= t，若m=3.5，则 t=3.5，解得t=2，此时P点坐标为（2，0）；

当3≤t＜4时，Q（t，﹣t+6），R（t，﹣ t），

∴m=﹣t+6﹣（﹣ t）=﹣ t+6，若m=3.5，则﹣ t+6=3.5，解得t=10（不合题意舍去）；

当4≤t＜6时，Q（t，﹣t+6），R（t， t﹣9），

∴m=﹣t+6﹣（ t﹣9）=﹣ t+15，若m=3.5，则﹣ t+15=3.5，解得t= ，此时P点坐标为（ ，0），

综上所述，满足条件的P点坐标为（2，0）或（ ，0）．

【解析】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用点的坐标表示线段的长；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．（1）先利用因式分解法解方程x2﹣11x+30=0可得到OB=6，OC=5，则B点坐标为（6，0），作AM⊥x轴于M，如图，利用等腰直角三角形的性质得OM=BM=AM= OB=3，于是可写出B点坐标；（2）作CN⊥x轴于N，如图，先利用勾股定理计算出CN得到C点坐标为（4，﹣3），再利用待定系数法分别求出直线OC的解析式为y=﹣ x，直线OA的解析式为y=x，则根据一次函数图象上点的坐标特征得到Q（t，t），R（t，﹣ t），所以QR=t﹣（﹣ t），从而得到m关于t的函数关系式．（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+6，直线BC的解析式为y= x﹣9，然后分类讨论：当0＜t＜3时，利用 t=3.5可求出t得到P点坐标；
当3≤t＜4时，则Q（t，﹣t+6），R（t，﹣ t），于是得到﹣t+6﹣（﹣ t）=3.5，解得t=10，不满足t的范围舍去；当4≤t＜6时，则Q（t，﹣t+6），R（t， t﹣9），所以﹣t+6﹣（ t﹣9）=3.5，然后解方程求出t得到P点坐标．
【考点精析】通过灵活运用等腰直角三角形和确定一次函数的表达式，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法即可以解答此题．