Question

【题目】如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC，

∵AC=CD，∠ACD=120°，

∴∠A=∠D=30°，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠A=30°，

∴∠COD=60°

∴∠OCD=180°﹣∠COD﹣∠D=90°

∴OC⊥CD

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：由（1）可知：∠COD=60°，

∴S扇形BOC= =

在Rt△OCD中，

tan60°=

∴CD=4 ，

∴S△OCD= OC×CD=8 ，

∴阴影部分面积为：8 ﹣

【解析】（1）连接OC，易证∠A=∠D=30°，由于OA=OC，所以∠ACO=∠A=30°，从而可知∠OCD=90°，即OC⊥CD．（2）分别求出扇形BOC与直角三角形OCD的面积即可求出阴影部分面积．
【考点精析】本题主要考查了扇形面积计算公式的相关知识点，需要掌握在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）才能正确解答此题．