Question

【题目】如图，AB垂直平分线段CD（AB＞CD），点E是线段CD延长线上的一点，且BE＝AB，连接AC，过点D作DG⊥AC于点G，交AE的延长线与点F．

（1）若∠CAB＝α，则∠AFG＝　 　（用α的代数式表示）；

（2）线段AC与线段DF相等吗？为什么？

（3）若CD＝6，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）45°﹣α；（2）相等，理由见解析；（3）EF＝3．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠AEB＝45°，根据三角形的内角和即可得到结论；

（2）连接AD，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，求得∠ADC＝∠ACB＝α，于是得到AC＝DF；

（3）根据已知条件得到BD＝CB＝3，过F作FH⊥CE交CE的延长线于H，得到△EHF是等腰直角三角形，求得FH＝HE，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解：（1）∵AB⊥CD，

∴∠ABE＝90°，

∵AB＝BE，

∴∠BAE＝∠AEB＝45°，

∵∠CAB＝α，∠CDG＝90°﹣（90°﹣α）＝α＝∠EDF．

∴∠AFG＝∠AED﹣∠EDF＝45°﹣α；

故答案为：45°﹣α；

（2）相等，

证明：连接AD，

∵AB垂直平分线段CD，

∴AC＝AD，

∴∠ADC＝∠ACB＝90°﹣α，

∴∠DAE＝∠ADC﹣45°＝45°﹣α，

∴∠DAE＝∠AFD，

∴AD＝DF，

∴AC＝DF；

（3）∵CD＝6，

∴BD＝CB＝3，

过F作FH⊥CE交CE的延长线于H，

则△EHF是等腰直角三角形，

∴FH＝HE，

∵∠H＝∠ABC＝90°，∠CAB＝∠CDG＝∠FDH，AC＝AD＝DF，

∴△ACB≌△DFH（AAS），

∴FH＝CB＝3，

∴EF＝FH＝3．