Question

【题目】如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连接DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形。

（1）求证：△BOC≌△CDA

（2）若AB=2，求阴影部分的面积。

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）如图，利用△ABC的内心和同弧所对的圆周角相等可证得∠1=∠3，利用平行线的性质可证∠4=∠6，再根据AAS即可判定△BOC≌△CDA；（2）先判定△ABC是等边三角形，即可得O是△ABC的内心也是外心，所以OA=OB=OC.在Rt△OCE中,CE=1，∠OCE=30，可求得OA=OB=OC=，根据，求出扇形AOB和△AOB的面积即可得求得阴影部分的面积.

试题解析：

解：（1）证明：∵O是△ABC的内心，

∴∠2=∠3，∠5=∠6，

∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，

由AD∥CO,AD=CO，∴∠4=∠5，∴∠4=∠6，

∴△BOC≌△CDA（AAS）

由（1）得，BC=AC,∠3=∠4=∠6，

∴∠ABC=∠ACB

∴AB=AC

∴△ABC是等边三角形

∴O是△ABC的内心也是外心

∴OA=OB=OC

设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC.

在Rt△OCE中，CE=AC=AB=1，∠OCE=30，

∴OA=OB=OC=.

∵∠AOC=120，

∴.