Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．

（1）求∠B的度数．
（2）如果AC=3cm，求AB的长度．
（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AE是△ABC的角平分线，

∴∠CAE=∠EAB，

∵∠CAE=∠B，

∴∠CAE=∠EAB=∠B．

∵在△ABC中，∠C=90°，

∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，

∴∠B=30°

（2）解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，

∴AB=2AC=6cm

（3）解：猜想：ED⊥AB．理由如下：

∵∠EAB=∠B，

∴EB=EA，

∵ED平分∠AEB，

∴ED⊥AB

【解析】（1）根据角平分线定义和三角形内角和定理求出∠B的度数；（2）根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半；求出AB的长度；（3）根据等腰三角形的性质，等角对等边得到EB=EA，根据三线合一得到ED⊥AB.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用含30度角的直角三角形的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．