Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，AB=10cm，sinA=．如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动．已知点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤5）

（1）求AC，BC的长；

（2）当t为何值时，△APQ的面积为△ABC面积的；

（3）当t为何值时，△APQ与△ABC相似．

Answer 1

【答案】（1）AC=8cm，BC=6cm；（2）当t为1s或4s时，△APQ的面积为△ABC面积的；（3）当t为s或s时，△APQ与△ABC相似．

【解析】

试题分析：（1）根据正弦的定义和勾股定理求出AC，BC的长；

（2）作PE⊥AC于E，根据相似三角形的性质用t表示出PE，根据三角形的面积公式和题意列出方程，解方程即可；

（3）分△APQ∽△ABC和△APQ∽△ACB两种情况，根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可．

解：（1）∵Rt△ABC中，AB=10cm，sinA=，

∴=，

∴BC=6cm，

则AC==8cm，

∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）作PE⊥AC于E，

由题意得，BP=2tcm，AQ=tcm，

则AP=（10﹣2t）cm，

∵PE∥BC，

∴=，即=，

解得，PE=6﹣t，

∴△APQ的面积=×t×（6﹣t），△ABC面积=×6×8=24，

由题意得，×t×（6﹣t）=×24，

解得，t1=1，t2=4，

则当t为1s或4s时，△APQ的面积为△ABC面积的；

（3）当△APQ∽△ABC时，=，即=，

解得，t=，

当△APQ∽△ACB时，=，即=，

解得，t=，

故当t为s或s时，△APQ与△ABC相似．