Question

【题目】如图，长方形OABC的顶点A、C、O都在坐标轴上，点B的坐标为（9，4），E为BC边上一点，CE=6．

（1）求点E的坐标和△ABE的周长；

（2）若P是OA上的一个动点，它以每秒1个单位长度的速度从点O出发沿射线OA运动，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．

①当t为何值时，△PAE的面积等于△PCE的面积的一半；

②当t为何值时，△PAE为直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）12；(2)①6或12秒；②6或秒.

【解析】

试题分析：（1）根据长方形OABC中，点B的坐标为（9，4），求得CB=9，CO=4=AB，即可得出CE=6，再根据勾股定理求得AE的长，即可得到△ABE的周长；

（2）①分两种情况讨论：P在OA之间时，P在OA的延长线上时，分别根据△PAE的面积等于△PCE的面积的一半，列出关于t的方程，求得t的值即可；

②分三种情况讨论：当∠PEA=90°时，当∠PAE=90°时，∠EPA=90°时，分别求得t的值并判断是否符合题意即可．

试题解析：（1）如图，∵长方形OABC中，点B的坐标为（9，4），

∴CB=9，CO=4=AB，

又∵CE=6，

∴E（6，4），BE=3，

∵∠B=90°，

∴Rt△ABE中，AE==5，

∴△ABE的周长：3+4+5=12；

（2）①∵OP=1×t=t，

∴AP=9﹣t，

∵△PAE的面积等于△PCE的面积的一半，

∴当P在OA之间时，

∵×AP×AB=×CE×CO×，

∴（9﹣t）×4=6×4×，

解得t=6；

当P在OA的延长线上时，

∵×AP×AB=×CE×CO×，

∴（t﹣9）×4=6×4×，

解得t=12，

综上所述，当t为6或12秒时，△PAE的面积等于△PCE的面积的一半；

②如图，当∠PEA=90°时，△PAE为直角三角形，过点P作PF⊥BC于F，则

CF=OP=t，EF=6﹣t，BF=6﹣t+3=9﹣t=AP，

由勾股定理可得，，

即，

∴，

解得t=；

当∠EPA=90°时，△PAE为直角三角形，EP⊥OA，

此时，PE=OC=4，

∴Rt△APE中，AP==3，

∴OP=9﹣3=6，

∴t=6；

∵EA与AP不垂直，

∴∠PAE不可能为直角；

综上所述，当t为6或秒时，△PAE为直角三角形．