Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，动点F在边BC上，且不与点B、C重合，将△EBF沿EF折叠，得到△EB′F.

（1）当∠BEF=45°时，求证：CF=AE；

（2）当B′D=B′C时，求BF的长；

（3）求△CB′F周长的最小值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）△CB′F周长的最小值为.

【解析】（1）利用正方形的性质即可证得结论；（2）运用翻折的性质在Rt△B′MF中运用勾股定理BF的长；（3）根据折叠的对称性求出△CB′F周长的最小值.

（1）证明：

∵ABCD是正方形，

∴∠B=90°，AB=BC，

∵∠BEF=45°，

∴∠BFE=∠BEF=45°，

∴BE=BF，

∴AE=CF.

（2）如图1，过B′点作GH∥AD，分别交AB、CD于点G、H，则∠B′GE=90°．

∵B′C=B′D，

∴DH=AG=DC=8，

∵AE=3，AB=16，

∴BE=13，

由翻折的性质可得：B′E=BE=13．

∴ EG=AG﹣AE=8﹣3=5，

∴ B′G=，

过B′点作B′M∥BC交BC于点M，

则B′M=BG=8．BM=B′G=12，

设BF= ，则B′F=BF= ，FM=12﹣，

在Rt△B′MF中，∠B′MF=90°，

∴ B′F2= FM2+ B′M2，

即，

解得： ，即BF =．

（3）如图2.

∵FB′+ FC=BC=16，

∴当CB′最小时，△CB′F的周长也最小，

而当C、B′、E三点共线时，CB′取最小值，

此时CB′=CE-EB′=，

∴△CB′F周长的最小值为.

或∵FB′+ FC=BC=16，

∴当CB′最小时，△CB′F的周长也最小，

当∠CB′F=90°时，CB′最小，

而这时C、B′、E三点共线，

此时CB′=CE-EB′=，

∴△CB′F周长的最小值为.

“点睛”本题考查了正方形的性质、翻折的性质、折叠的对称性，灵活运用性质是解题的关键.