Question

【题目】如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．

（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是____；

（2）问题探究：如图②，是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．

Answer 1

【答案】（1），；（2）的形状是等腰直角三角形，理由见解析；（3）

【解析】

（1）根据题意可得PQ为△BOC的中位线，再根据中位线的性质即可求解；

（2）连接并延长交于点，根据题意证出，为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形；

（3）延长交边于点，连接，．证出四边形是矩形，为等腰直角三角形，，再证出为等腰直角三角形，根据图形的性质和勾股定理求出O′A，O′B和BQ的长度，即可计算出的面积．

解：（1）∵点P和点Q分别为，的中点，

∴PQ为△BOC的中位线，

∵四边形是正方形，

∴AC⊥BO，

∴，；

故答案为：，；

（2）的形状是等腰直角三角形．理由如下：

连接并延长交于点，

由正方形的性质及旋转可得，∠，

是等腰直角三角形，，．

∴，．

又∵点是的中点，∴．

∴．

∴，．

∴，∴．

∴为等腰直角三角形．

∴，．

∴也为等腰直角三角形．

又∵点为的中点，

∴，且．

∴的形状是等腰直角三角形．

（3）延长交边于点，连接，．

∵四边形是正方形，是对角线，

∴．

由旋转得，四边形是矩形，

∴，．

∴为等腰直角三角形．

∵点是的中点，

∴，，．

∴．

∴，．

∴．

∴．

∴为等腰直角三角形．

∵是的中点，

∴，．

∵，

∴，，

∴．

∴．