Question

【题目】如图，已知菱形ABCD对角线交于点O，AE⊥CD于E，AE=OD，则∠CAE=_____．

Answer 1

【答案】30°

【解析】分析：由四边形ABCD为菱形，得到对角线互相垂直，进而得到一对直角相等，再由对顶角相等，得到△AFO与△DFE相似，利用相似三角形对应角相等得到一对角相等，利用ASA得到△AEC与△DOC全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=CD，进而确定出△ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质及三线合一性质即可求出所求角的度数．

详解：∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD，AD=DC， ∵AE⊥CD， ∴∠AEC=∠DOC=90°，

∵∠AOD=∠AED=90°，∠AFO=∠DFE， ∴△AFO∽△DFE， ∴∠CAE=∠CDO，

∴△AEC≌△DOC（ASA）， ∴AC=CD， ∴AC=CD=AD，即△ACD为等边三角形，

∵AE⊥CD， ∴AE为∠CAD的平分线， 则∠CAE=30°． 故答案为：30°．