Question

【题目】已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=-3x+t上．

（1）求点C的坐标；

（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；

（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2-5n的最小值．

Answer 1

【答案】(1)(2) 若c=3，当y随x增大而增大时，x≤-1；若c=-3，当y随x增大而增大时，x≥1；

【解析】

试题分析：（1）利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标，再利用O，C两点间的距离为3求出即可；

（2）分别利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C（0，-3），即c=-3，得出A，B点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案；

（3）利用①若c=3，则y1=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，y2=-3x+3，得出y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=-（x+1+n）2+4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，②若c=-3，则y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，y2=-3x-3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x-1+n）2-4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，进而利用配方法求出函数最值．

试题解析：（1）令x=0，则y=c，

故C（0，c），

∵OC的距离为3，

∴|c|=3，即c=±3，

∴C（0，3）或（0，-3）；

（2）∵x1x2＜0，

∴x1，x2异号，

①若C（0，3），即c=3，

把C（0，3）代入y2=-3x+t，则0+t=3，即t=3，

∴y2=-3x+3，

把A（x1，0）代入y2=-3x+3，则-3x1+3=0，

即x1=1，

∴A（1，0），

∵x1，x2异号，x1=1＞0，∴x2＜0，

∵|x1|+|x2|=4，

∴1-x2=4，

解得：x2=-3，则B（-3，0），

代入y1=ax2+bx+3得，

，

解得：

，

∴y1=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，

则当x≤-1时，y随x增大而增大．

②若C（0，-3），即c=-3，

把C（0，-3）代入y2=-3x+t，则0+t=-3，即t=-3，

∴y2=-3x-3，

把A（x1，0），代入y2=-3x-3，

则-3x1-3=0，

即x1=-1，

∴A（-1，0），

∵x1，x2异号，x1=-1＜0，∴x2＞0

∵|x1|+|x2|=4，

∴1+x2=4，

解得：x2=3，则B（3，0），

代入y1=ax2+bx+3得，

，

解得：

，

∴y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，

则当x≥1时，y随x增大而增大，

综上所述，若c=3，当y随x增大而增大时，x≤-1；若c=-3，当y随x增大而增大时，x≥1；

（3）①若c=3，则y1=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，y2=-3x+3，

y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=-（x+1+n）2+4，

则当x≤-1-n时，y随x增大而增大，

y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=-3x+3-n，

要使平移后直线与P有公共点，则当x=-1-n，y3≥y4，

即-（-1-n+1+n）2+4≥-3（-1-n）+3-n，

解得：n≤-1，

∵n＞0，∴n≤-1不符合条件，应舍去；

②若c=-3，则y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，y2=-3x-3，

y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x-1+n）2-4，

则当x≥1-n时，y随x增大而增大，

y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=-3x-3-n，

要使平移后直线与P有公共点，则当x=1-n，y3≤y4，

即（1-n-1+n）2-4≤-3（1-n）-3-n，

解得：n≥1，

综上所述：n≥1，

2n2-5n=2（n-）2-，

∴当n=时，2n2-5n的最小值为：-．