Question

【题目】已知正方形 ABCD，E 在线段 BC 上，F 在线段 CD 上．

（1）如图 1，连接 EF，若EAF =45，求证：BE+DF=EF；

（2）如图 2，连接 EF，若DAE=AEF ，且 2BE=CE，求的值；

（3）如图 3，连接 BD，线段 AE、AF 分别交 BD 于点 N、M．已知GEB=90 ，DM=MG=4，NG=1，请直接写出线段AF 的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；（2）1；（3）

【解析】

（1）如图，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证明△ABM≌△ADF，则AF=AM，进而可证明△AEF≌△AEM，可得ME=EF ，进而可得BE+DF=EF；

（2）如图，延长AD，EF交于点M。过M作MN⊥BC交BC的延长线于N，设BE=x，DM=y，则根据已知条件和正方形的性质，可求，，，，再根据勾股定理在Rt△ENM中可计算出，再证△DMF∽△CEF，根据相似比即可求得的值；

（3）设，易证△GNE∽△BNA，根据相似比可求得，再由△AMF∽△BMA，可得，即可得，再在Rt△ADF中，由勾股定理即可求得的长．

解：（1）如图，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABM=∠ADF=90°，AD=AB，

∴△ABM≌△ADF，

∴AF=AM，

∵∠EAF=45°，

∴，

∵，

∴△AEF≌△AEM，

∴ME=EF，

∴，

即BE+DF=EF得证；

（2）如图，延长AD，EF交于点M。过M作MN⊥BC交BC的延长线于N，

设BE=x，DM=y，

∴，，，

∵DAE=AEF

∴，

在Rt△ENM中，由勾股定理可得：，

解得：，

又∵AM∥BN，

∴∠DMF=∠FEC，

∵∠MDF=∠CEF=90°，

∴△DMF∽△CEF，

∴，

即；

（3）设，

∵GEB=90，

∴GE⊥AB，且∠ABG=∠EBG=45°，

易证△GNE∽△BNA，

∴，

即，，

解得：，

∴，，

又∵AB∥DC，

∴△DMF∽△BMA，

∴，

∴，

∴在Rt△ADF中，，

故．