Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．

（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；

（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO= ，PH= ，由此发现，PO PH（填“＞”、“＜”或“=”）；

②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），顶点B（0，1）；（2）①5，5=；②PO=PH；（3）P（1，）或（﹣1，）．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题．

（2）①求出PO、PH即可解决问题．

②结论：PO=PH．设点P坐标（m，），利用两点之间距离公式求出PH、PO即可解决问题．

（3）首先判断PH与BC，PO与AC是对应边，设点P（m，），由列出方程即可解决问题．

试题解析：（1）解：∵抛物线经过点A（4，﹣3），∴﹣3=16a+1，∴a=，∴抛物线解析式为，顶点B（0，1）；

（2）①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5，∴PO=PH，故答案分别为：5，5=；

②结论：PO=PH．理由：设点P坐标（m，），∵PH=2﹣（）=，PO=，∴PO=PH；

（3）∵BC==，AC==，AB==，∴BC=AC，∵PO=PH，又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，∴PH与BC，PO与AC是对应边，∴，设点P（m，），∴，解得m=±1，∴点P坐标（1，）或（﹣1，）．