Question

【题目】如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）点P是x轴上的一动点，当PA+PB最小时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（1，4）代入y= ，得：m=4，

∴反比例函数的解析式为y=

（2）解：把B（4，n）代入y= ，得：n=1，

∴B（4，1），

把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b，得： ，

解得： ，

∴一次函数的解析式为y=﹣x+5

（3）解：作B的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB=AB′最小，

∵B（4，1），

∴B′（4，﹣1），

设直线AB′的解析式为y=mx+n，

∴ ，解得 ，

∴直线AB′的解析式为y=﹣ x+ ，

令y=0，得﹣ x+ =0，

解得x= ，

∴点P的坐标为（ ，0）．

【解析】（1）将点A（1，4）代入反比例函数解析式可得其解析式；（2）先根据反比例函数解析式求得点B坐标，再由A、B坐标可得直线解析式；（3）作B的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB=AB′最小，根据B的坐标求得B′的坐标，然后根据待定系数法求得直线AB′的解析式，进而求得与x轴的交点即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解轴对称-最短路线问题的相关知识，掌握已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径．