Question

【题目】如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.

(1)求证：FD2=FB·FC.

(2)若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析;(2) GD⊥EF,理由见解析.

【解析】（1）要求证：FD2=FB×FC，只要证明△FBD∽△FDC，从而转化为证明∠FDC=∠FBD；（2）要证明DG⊥EF，只要证明∠5+∠1=90°，转化为证明∴∠3=∠4即可.

证明：（1）∵ ∠ACB=90°

∴ ∠ABC + ∠A= 90°，

∵ CD⊥AB于D，∴ ∠BDC=∠ADC=90°，

∴ ∠ABC +∠FCD=90°，∴ ∠A=∠FCD，

在Rt△ACD中，E为AC的中点，

∴ DE为Rt△ACD斜边上的中线

∴ ED=EA，∴∠A=∠ADE，

∵∠ADE=∠FDB，

∴∠FCD=∠FDB，

在 △FDC和 △FBD中， ∠F=∠F, ∠FCD=∠FDB，

∴ △FDC∽△FBD，

∴=，即FD=FB·FC，

（2）GD⊥EF

理由如下：

∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，

∴DG=GC，

∴∠CDG=∠DCG，

由（1）得∠FCD=∠FDB，

∴∠CDG=∠FDB，

∵∠CDG+∠BDG=90°，

∴∠BDG+∠FDB=90°，

∴DG⊥EF.

“点睛”证明线段的积相等可以转化为证明三角形相似，证明两直线垂直转化为证明形成的角是直角.