Question

【题目】将抛物线c1： 沿x轴翻折，得到抛物线c2 ， 如图1所示．

（1）请直接写出抛物线c2的表达式；
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．
①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：y= x2﹣

（2）

解：①如图1，令﹣ x2+ =0，得x1=﹣1，x2=1

则拋物线c1与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（1，0）．

∴A（﹣1﹣m，0），B（1﹣m，0）．

同理可得：D（﹣1+m，0），E（1+m，0）．

当AD= AE时，

（﹣1+m）﹣（﹣1﹣m）= [（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，

∴m= ．

当BD= AE时，

（﹣1+m）﹣（1﹣m）= [（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，

∴m=2．

故当B，D是线段AE的三等分点时，m= 或2．

②存在．

理由：如图2，连接AN，NE，EM，MA．

依题意可得：M（﹣m， ），N（m，﹣ ）．

即M，N关于原点O对称，

∴OM=ON．

∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），

∴A，E关于原点O对称，

∴OA=OE

∴四边形ANEM为平行四边形．

∵AM2=（﹣m+1+m）2+（ ）2=4，

ME2=（1+m+m）2+（ ）2=4m2+4m+4，

AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4，

若AM2+ME2=AE2，则4+4m2+4m+4=4m2+8m+4，

∴m=1，

此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°．

∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．

【解析】（1）根据翻折的性质可求拋物线c2的表达式；（2）①求出拋物线c1与x轴的两个交点坐标，分当AD= AE时，当BD= AE时两种情况讨论求解；②存在．理由：如图2，连接AN，NE，EM，MA．根据矩形的判定即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．