Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，下列结论正确的有（ ）
①AD=BD=BC；②△BCD≌△ABC；③AD2=ACDC；④点D是AC的黄金分割点．

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①由AB=AC，∠A=36°，得∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=36°=∠A，
∴AD=BD，
∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，
∴BC=BD，
∴BC=BD=AD，
∴①正确；
②∵△BCD是△ABC的一部分，
∴②错误；
③由①知：∠CBD=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=CDAC，
∵AD=BD=BC，AD2=CDAC，
∴③正确；
④设AD=x，AC=AB=1，CD=AC﹣AD=1﹣x，
由AD2=CDAC，得x2=（1﹣x），
解得x=± ﹣1（舍去负值），
∴AD= ，
∴④正确．
正确的有3个．
故选C．
在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD为等腰三角形，可得AD=BD=BC，①正确；由三角形的面积公式得出②正确；利用三角形相似的判定与性质得出③④正确，即可得出结果．