Question

【题目】如图在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AB＝2，CD＝，∠D＝30°．∠MON＝60°，其顶点O在CD边上运动，并保持OM始终经过点B，设ON与AD边所在的直线交于点P，则当AP＝______时，△OBC为等腰三角形．

Answer 1

【答案】

【解析】过点A作AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，则有四边形ABFE要矩形，∴EF=AB=2，AE=BF，∵AB//CD，AD=BC，∴△DAE≌△BCF，∴DE=CF，∠C=∠D=30°，∴∠DAB=∠ABC=150°，∵CD=2+4 ，∴DE=CF=2，∴AD=BC=4；

有三种情况：

①如图1，当BO=CO时，此时∠OBC=∠C=30°，∴∠ABO=120°，∵∠MON=60°，∴∠ABO+∠MON=180°，∴AB//ON，∴点P与点D重合，∴AP=AD=4；

②如图2，当CO=CB=4时，DO=2+4-4=4-2，∵∠C=30°，∴∠BOC=75°，∵∠MON=60°，∴∠NOD=45°，过点P作PH⊥DC，垂足为H，则有PH=OH，∵∠D=30°，∴DH= PH，∴DO=DH+HO= PH+PH=4-2，∴PH=7-3 ，∴PD=2PH=14-6，∴AP=AD-PD=4-（14-6）=6-10；

③如图3，当BO=BC=4时，∠BOC=∠C=30°，∴∠OBC=120°，

∴OC=BC=4，∴OD=4+2-4=2，又∵∠MON=60°，∴∠POD=90°，∵∠D=30°，∴PD= = ，∴AP=AD-PD=4=；

综上：AP的长为.