Question

【题目】如图，CE是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交CE延长线于点A，连接DE，过点O作OB∥ED，交AD的延长线于点B，连接BC．

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AE=2，tan∠DEO= ，求AO的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵DE∥BO，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∵OD=OE，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△DOB与△COB中，

，

∴△DOB≌△COB，

∴∠OCB=∠ODB，

∵BD切⊙O于点D，

∴∠ODB=90°，

∴∠OCB=90°，

∴AC⊥BC，

∴直线BC是⊙O的切线

（2）解：∵∠DEO=∠2，

∴tan∠DEO=tan∠2= ，

设OC=r，BC= r，

由（1）证得△DOB≌△COB，

∴BD=BC= r，

由切割线定理得：AD2=AEAC=2（2+r），

∴AD=2 ，

∵DE∥BO，

∴ ，

∴ ，

∴r=1，

∴AO=3．

【解析】（1）要证明直线BC是⊙O的切线，连接OD，根据已知先证明∠1=∠2，再证明△DOB≌△COB，得出∠OCB=∠ODB，然后根据切线的性质证明∠OCB=90°，即可证得结论。
（2）利用tan∠DEO= ，得出 tan∠2= ，由△DOB≌△COB得出BD=BC，再根据切割线定理，证得AD2=AEAC，可表示出AD的长，再由DE∥BO，得对应线段成比例，求出r的长，即可求出AO的长。
【考点精析】利用平行线分线段成比例和相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．