Question

【题目】如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c过点A、B且与y轴交与点C（0，3），点P为抛物线对称轴x=l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AP+CP最小时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）P点坐标为（1，2）．

【解析】

试题分析：（1）先把C（0，3）代入y=ax2+2x+c可求得c=3，再利用对称轴方程可求出a=﹣1，于是得到抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程﹣x2+2x+3=0得到A（﹣1，0），B（3，0），连结BC交直线x=1于点P，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PC+PA最小，利用待定系数法可计算出直线BC的解析式为y=﹣x+3，然后计算x=1的函数值即可得到P点坐标．

解：（1）把C（0，3）代入y=ax2+2x+c得c=3，

因为抛物线的对称轴为直线x=1，

所以﹣=1，解得a=﹣1，

所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=﹣3，则A（﹣1，0），B（3，0），

连结BC交直线x=1于点P，连接PA，如图，

∵PA=PB，

∴PA+PC=PC+PB=BC，

∴此时PC+PA最小，

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（3，0），C（0，3）代入得，解得，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

当x=1时，y=﹣x+3=2，

∴P点坐标为（1，2）．