Question

【题目】小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形．

（1）如图①所示两个等腰直角△ABC，△DBE，两直角边交于点F，连接BF、AD，求证：BF＝AD；

（2）如果小华将两块三角板△ABC，△DBE如图②所示摆放，使D、B、C三点在一条直线上，AC、DE的延长线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AE于点G，连接AD，FB，求证：FG=AC+DC；

（3）在（2）的条件下，若AG=7，DC=5，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于P、Q两点（如图③），若PG=2，求线段FQ的长．

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、证明过程见解析；(3)、.

【解析】

试题分析：(1)、根据△ABC，△DBE是等腰直角三角形得到△CDF也是等腰直角三角形，则CD=CF，根据∠BCF=∠ACD=90°，AC=BC得到△BCF≌△ACD，从而得到BF=AD；(2)、根据△ABC、△BDE是等腰直角三角形得出∠ABC=∠BAC=∠BDE=45°即FG∥CD，∠G=45°，则AF=FG，根据CD⊥CF，∠CDF=45°得出CD=CF，则得出答案；(3)、过点B作BH⊥FG垂足为H，过点P作PK⊥AG于点K，根据FG∥BC，C、D、B在一条直线上得出△AFG和△DCF为等腰直角三角形，根据勾股定理得出AF、FG和FD的长度，然后根据题意求出△BQH和△BPK相似，然后求出FQ的长度.

试题解析：(1)、∵△ABC，△DBE是等腰直角三角形， ∴△CDF也是等腰直角三角形；

∴CD=CF， 又∵∠BCF=∠ACD=90°，AC=BC ∴△BCF≌△ACD， ∴BF=AD；

(2)、∵△ABC、△BDE是等腰直角三角形 ∴∠ABC=∠BAC=∠BDE=45°，∵FG∥CD， ∴∠G=45°，

∴AF=FG； ∵CD⊥CF，∠CDF=45°， ∴CD=CF， ∵AF=AC+CF， ∴AF=AC+DC． ∴FG=AC+DC．

(3)、过点B作BH⊥FG垂足为H，过点P作PK⊥AG于点K，

∵FG∥BC，C、D、B在一条直线上， 可证△AFG、△DCF是等腰直角三角形， ∵AG=，CD=5，

∴根据勾股定理得：AF=FG=7，FD=， ∴AC=BC=2， ∴BD=3； ∵BH⊥FG，

∴BH∥CF，∠BHF=90°， ∵FG∥BC， ∴四边形CFHB是矩形， ∴BH=5，FH=2；

∵FG∥BC， ∴∠G=45°， ∴HG=BH=5，BG=； ∵PK⊥AG，PG=2， ∴PK=KG=，

∴BK=﹣=4； ∵∠PBQ=45°，∠HGB=45°， ∴∠GBH=45°， ∴∠1=∠2；

∵PK⊥AG，BH⊥FG， ∴∠BHQ=∠BKP=90°， ∴△BQH∽△BPK， ∴，

∴QH= ∴