Question

【题目】在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线、b、c为常数，的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．

已知抛物线与其“梦想直线”交于A、B两点点A在点B的左侧，与x轴负半轴交于点C．

填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______；

如图，点M为线段CB上一动点，将以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；

当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；；；（2）N点坐标为或；（3）、或、

【解析】试题分析：（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标；

（2）当N点在y轴上时，过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N点坐标；当M点在y轴上即M点在原点时，过N作NP⊥x轴于点P，由条件可求得∠NMP=60°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的长，则可求得N点坐标；

（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．

（1）∵抛物线，∴其梦想直线的解析式为，联立梦想直线与抛物线解析式可得：，解得：或，∴A（﹣2，），B（1，0），故答案为：；（﹣2，）；（1，0）；

（2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2，在中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，），∴AC= =，由翻折的性质可知AN=AC=，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN= = =3，∵OD=，∴ON=﹣3或ON=+3，当ON=+3时，则MN＞OD＞CM，与MN=CM矛盾，不合题意，∴N点坐标为（0，﹣3）；

当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，在Rt△AMD中，AD=2，OD=，∴tan∠DAM==，∴∠DAM=60°，∵AD∥x轴，∴∠AMC=∠DAO=60°，又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°，∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，∴MP=MN=，NP=MN=，∴此时N点坐标为（，）；

综上可知N点坐标为（0，﹣3）或（，）；

（3）①当AC为平行四边形的边时，如图3，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中，∵∠ACK=∠EFH，∠AKC=∠EHF，AC=EF，∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=，∵抛物线对称轴为x=﹣1，∴F点的横坐标为0或﹣2，∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH﹣OF=﹣=，即E点纵坐标为﹣，∴E（﹣1，﹣）；

当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；

②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，），∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），设E（﹣1，t），F（x，y），则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=，∴x=﹣4，y=﹣t，代入直线AB解析式可得﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；

综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．