Question

【题目】解答题

（1）如图1，已知⊙O的半径是4，△ABC内接于⊙O，AC=4 ．
①求∠ABC的度数；
②已知AP是⊙O的切线，且AP=4，连接PC．判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，已知ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O内，延长BC交⊙O于点E，连接DE．求证：DE=DC．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①连结OA、OC，如图1，

∵OA=OC=4，AC=4 ，

∴OA2+OC2=AC2，

∴△OCA为等腰直角三角形，∠AOC=90°，

∴∠ABC= ∠AOC=45°；

②直线PC与⊙O相切．理由如下：

∵AP是⊙O的切线，

∴∠OAP=90°，

而∠AOC=90°，

∴AP∥OC，

而AP=OC=4，

∴四边形APCO为平行四边形，

∵∠AOC=90°，

∴四边形AOCP为矩形，

∴∠PCO=90°，

∴PC⊥OC，

∴PC为⊙O的切线

（2）

证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，

∵∠E+∠A=180°，

∴∠E=∠B，

∴∠DCE=∠E，

∴DC=DE．

【解析】（1）①连结OA、OC，如图1，利用勾股定理的逆定理证明△OCA为等腰直角三角形，∠AOC=90°，然后根据圆周角定理易得∠ABC=45°；
②先根据切线的性质得∠OAP=90°，再证四边形APCO为平行四边形，加上∠AOC=90°，则可判断四边形AOCP为矩形，所以∠PCO=90°，然后根据切线得判断定理得到PC为⊙O的切线；（2）根据平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，再由平行线的性质得∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，由圆内接四边形的性质得∠E+∠A=180°，易得∠DCE=∠E，则根据等腰三角形的判定定理即可得到DC=DE．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的性质和切线的性质定理的相关知识点，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．