Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．

（1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=4，DE=2，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OD，

∵CD是⊙O切线，

∴∠ODC=90°，

即∠ODB+∠BDC=90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

即∠ODB+∠ADO=90°，

∴∠BDC=∠ADO，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠A，

∴∠BDC=∠A；

（2）

解：∵CE⊥AE，

∴∠E=∠ADB=90°，

∴DB∥EC，

∴∠DCE=∠BDC，

∵∠BDC=∠A，

∴∠A=∠DCE，

∵∠E=∠E，

∴△AEC∽△CED，

∴ ，

∴EC2=DEAE，

∴16=2（2+AD），

∴AD=6．

【解析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．（1）连接OD，由CD是⊙O切线，得到∠ODC=90°，根据AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，等量代换得到∠BDC=∠ADO，根据等腰直角三角形的性质得到∠ADO=∠A，即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC，根据相似三角形的性质得到 ，解方程即可得到结论．