Question

【题目】在平行四边形ABCD中，∠C和∠D的平分线交于M，DM的延长线交AD于E，试猜想:

（1）CM与DE的位置关系？

（2）M在DE的什么位置上？并证明你的猜想.

Answer 1

【答案】(1) CM⊥DE；（2）M为ED的中点，见解析.

【解析】

（1）CM⊥DE，由平行四边形ABCD得AD∥BC，∠ADC+∠BCD=180°，结合角平分线可得∠MDC+∠MCD=90°，即可得结论；

（2）由平行线的性质得∠ADE=∠CEM，结合角平分线可得∠CDE=∠CED，可证出△ECD是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一可得CM是中线，则M为ED的中点.

(1) CM⊥DE

∵ AD∥BC

∴∠ADC+∠BCD=180°

∵DE,CM分别平分∠ADC, ∠BCD

∴∠MDC+∠MCD=90°

∴CM⊥DE

(2)M为ED的中点

∵AD∥BC

∴∠ADE=∠CEM

∵∠ADE=∠CDE

∴∠CDE=∠CED

∴CD=CE

∵CM⊥DE，

∴EM=MD，即M为ED的中点.

故答案为：(1) CM⊥DE；（2）M为ED的中点，见解析.