Question

【题目】如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．

（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；
（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BE=AB=15，

在直角△BCE中，

CE= = =9

∴DE=6，

∵∠EAD+∠BAE=90°，∠BAE=∠BEF，

∴∠EAD+∠BEF=90°，

∵∠BEF+∠F=90°，

∴∠EAD=∠F

∵∠ADE=∠FBE

∴△ADE∽△FBE，

∴ ，

，

∴BF=30

（2）

解：①如图1，将矩形ABCD和直角△FBE以CD为轴翻折，则△AMH即为未包裹住的面积，

∵Rt△F′HN∽Rt△F′EG，

∴ = ，即 ，

解得：HN=3，

∴S△AMH= AMMH= ×12×24=144；

②如图2，将矩形ABCD和Rt△ECF以AD为轴翻折，

∵Rt△GBE∽Rt△GB′C′，

∴ ，即 ，解得：GB′=24，

∴S△B′C′G= B′C′B′G= ×12×24=144，

∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等．

【解析】（1）先证明△ADE∽△FBE，利用相似的性质得BF；（2）①利用相似三角形的判定，证明Rt△F′HN∽Rt△F′EG，利用相似三角形的性质，求得HN，利用三角形的面积公式得结果；②利用相似三角形的判定，证明Rt△F′HN∽Rt△F′EG，利用相似三角形的性质，求得HN，利用三角形的面积公式得结果．