Question

【题目】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，∠ABD与∠C互补．

（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若AB=5，AC=9，则AE=_________.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）首先证明Rt△BED≌Rt△CED，根据全等三角形的对应边相等证明DE=DF，即可证得AD是∠BAC的平分线；

（2）根据全等三角形的性质得到AF=AE，BE=CF，根据AE=AC-CF=AB+BE，得到BE=2，于是得到结论.

解：（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴∠E=∠DFC=90°，

∵∠ABD与∠C互补

∴∠ABD+∠C=180°

∵∠ABD+∠DBE=180°

∴∠DBE=∠C

∵BD=CD

∴△BDE≌△CDF(AAS)

∴DE=DF，即AD平分∠BAC；

（2）解：在△ADE与△ADF中，∠DAE=∠DAF，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，

∴AF=AE，

∵Rt△BED≌Rt△CFD，

∴BE=CF，∴AE=AC-CF=AB+BE，

∴BE=2，

∴AE=AB+BE=7.

故答案为：7.