Question

【题目】如图，在ABCD中，AC为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中线．

（1）用无刻度的直尺画出△ABC的高CH（保留画图痕迹）；

（2）求△ACE的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）6.

【解析】

试题分析：（1）连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，与AB交于点H，则CH为△ABC的高；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可求得AH的长，再由勾股定理求得CH的长，继而求得△ABC的面积，又由AE是△ABC的中线，求得△ACE的面积．

试题解析：（1）如图，连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，则它与AB的交点即为H．理由如下：

∵BD、AC是ABCD的对角线，

∴点O是AC的中点，

∵AE、BO是等腰△ABC两腰上的中线，

∴AE=BO，AO=BE，

∵AO=BE，

∴△ABO≌△BAE（SSS），

∴∠ABO=∠BAE，

△ABF中，∵∠FAB=∠FBA，∴FA=FB，

∵∠BAC=∠ABC，

∴∠EAC=∠OBC，

由可得△AFC≌BFC（SAS）

∴∠ACF=∠BCF，即CH是等腰△ABC顶角平分线，

所以CH是△ABC的高；

（2）∵AC=BC=5，AB=6，CH⊥AB，

∴AH=AB=3，

由勾股定理可得CH=4，

∴S△ABC=ABCH=×6×4=12，

∵AE是△ABC的中线，

∴S△ACE=S△ABC=6．