Question

【题目】（1）如图1，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系。小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使。连接，先证明，再证明，可得出结论。他的结论应是______________________________________（不写过程）。

（2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由。

（3）如图3，已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程。

Answer 1

【答案】（1）；（2）仍成立，见解析；（3），见解析

【解析】

（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，利用SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再利用SSS判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，据此得出结论；

（2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，利用SAS先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再利用SSS判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；

（3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，利用SAS先判定△ADG≌△ABE，再利用SSS判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，推导得到2∠FAE+∠DAB＝360°，即可得出结论．

（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由：

如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

在ABE和ADG中，

∴△ABE≌△ADG(SAS)，

∴EF=FG，AE=AG，BAE=DAG

EF=BE+FD

∴EF=GD+FD=GF

在△EAF和△GAF中，

∴△AEF≌△AGF(SSS)，

∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．

故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；

（2）仍成立，

理由如下：如图，延长到点，使，连接 、

B+ADF=180，又ADG+ADF=180,

∴B=ADG

在△ABE和△ADG中，

∴△ABE△ADG(SAS)，

∴AE=AG，BAE=DAG，

EF=BE+FD

∴EF=GD+FD=GF

在△EAF和△GAF中，

∴△EAF△GAF(SSS)

∴EAF=GAF=BAE+FAD

∴

（3）

证明：如图，在的延长线上取一点，使得，连接

ABC+ADC=180，又ABC+ABE=180,

∴ABE=ADG

在△ABE和△ADG中，

∴△ABE△ADG(SAS)，

∴AE=AG,BAE=DAG,

EF=BE+FD

∴EF=GD+FD=GF

在△EAF和△GAF中，

∴△EAF△GAF(SSS)

∴ 又

∴

∴，

∴

∴