Question

【题目】在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2015A2016B2016的顶点A2016的坐标是 ．

Answer 1

【答案】（4031，﹣ ）
【解析】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为（1， ），B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1=3，2×0﹣ =﹣ ，
∴点A2的坐标是（3，﹣ ），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣ ）= ，
∴点A3的坐标是（5， ），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5=7，2×0﹣ =﹣ ，
∴点A4的坐标是（7，﹣ ），
…，
∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，
当n为奇数时，An的纵坐标是 ，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣ ，
∴△B2015A2016B2016的顶点A2016的坐标是（4031，﹣ ），
故答案为：（4031，﹣ ）．
首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1， ），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2016的坐标是多少即可．