Question

【题目】定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． 请解决下列问题：

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM．若AM=2，MN=3，求BN的长；
（2）如图2，若点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点．

Answer 1

【答案】
（1）解∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM，AM=2，MN=3，

∴BN2=MN2+AM2=9+4=13，

∴BN=

（2）证明∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，

∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线，

∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，

∵点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，

∴EC2=DE2+DB2，

∴4NG2=4MN2+4FM2，

∴NG2=MN2+FM2，

∴点M，N是线段FG的勾股分割点

【解析】（1）由M、N为线段AB的勾股分割点，利用题中的新定义列出关系式，将MN与AM的长代入求出BN的长即可；（2）由F、M、N、G分别为各边中点，得到FM、MN、NG分别为中位线，利用中位线定理得到BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，再利用题中新定义列出关系式，即可得证．
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念和三角形中位线定理，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半才能得出正确答案．