【题目】如图，把矩形纸片ABCD置于直角坐标系中，AB∥x轴，BC∥y轴，AB=4，BC=3，点B（5，1）翻折矩形纸片使点A落在对角线DB上的H处得折痕DG．

（1）求AG的长；
（2）在坐标平面内存在点M（m，﹣1）使AM+CM最小，求出这个最小值；
（3）求线段GH所在直线的解析式．

参考答案：

【答案】
（1）

解：由折叠的性质可得，AG=GH，AD=DH，GH⊥BD，

∵AB=4，BC=3，

∴BD= =5，

设AG的长度为x，

∴BG=4﹣x，HB=5﹣3=2，

在Rt△BHG中，GH2+HB2=BG2，

x2+4=（4﹣x）2，

解得：x=1.5，

即AG的长度为1.5


（2）

解：如图所示：作点A关于直线y=﹣1的对称点A'，连接CA'与y=﹣1交于M点，

∵点B（5，1），

∴A（1，1），C（5，4），A'（1，﹣3），

AM+CM=A'C= = ，

即AM+CM的最小值为


（3）

解：∵点A（1，1），

∴G（2.5，1），

过点H作HE⊥AD于点E，HF⊥AB于点F，如图所示，

∴△AEH∽△DAB，△HFB∽△DAB，

∴ = ， = ，

即 = ， = ，

解得：EH= ，HF= ，

则点H（ ， ），

设GH所在直线的解析式为y=kx+b，

则 ，

解得： ，

则解析式为：y= x﹣ ．


【解析】（1）根据折叠的性质可得AG=GH，设AG的长度为x，在Rt△HGB中，利用勾股定理求出x的值；（2）作点A关于直线y=﹣1的对称点A'，连接CA'与y=﹣1交于一点，这个就是所求的点，求出此时AM+CM的值；（3）求出G、H的坐标，然后设出解析式，代入求解即可得出解析式．

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