Question

【题目】如图①，先把一矩形纸片上下对折，设折痕为；如图②，再把

点 叠在折痕线上，得到 ．过点作，分别交、于点、．

（1）求证： ∽；

（2）在图②中，如果沿直线再次折叠纸片，点能否叠在直线上？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若，求的长度．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）由题意可以得到∠BPE=∠AQB=90°，通过角的转化可以得到∠BEP=∠ABQ，从而可以得到△PBE∽△QAB；

（2）根据折叠的知识可以得到QB=PB，由第（1）问中的相似可以得到对应边成比例，通过转化可以得到△PBE∽△BAE，从而可以解答本题；

（3）由题意和第（2）问可以得到∠AEB=∠BEP=60°，∠ABE=90°，又因为AB=，sin∠AEB=，从而可以得到AE的长度．

试题解析：（1）证明：∵PQ⊥MN，BN∥EC∥AD，∴∠BPE=∠AQB=∠PBN=∠NBQ=90°，∴∠PBE+∠BEP=90°，又∵∠PBE+∠ABQ=180°﹣∠ABE=180°﹣90°=90°，∴∠BEP=∠ABQ，在△PBE和△QAB中，∵∠BPE=∠AQB，∠BEP=∠ABQ，∴△PBE∽△QAB；

（2）点A能叠在直线EC上，理由：∵△PBE∽△QAB，∴ ，∵由折叠可知，QB=PB，∴，即，又∵∠ABE=∠BPE=90°，∴△PBE∽△BAE，∴∠AEB=∠PEB，∴沿直线EB再次折叠纸片，点A能叠在直线EC上；

（3）解：由（2）可知，∠AEB=∠PEB，而由折叠过程知：2∠AEB+∠PEB=180°，∴∠AEB=∠PEB=60°，在Rt△ABE中，sin∠AEB=，∴AE=．