Question

【题目】如图，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，已知：∠MAN=30°，AM=AN，△AMN的面积为1．
（1）求∠BAM的度数；
（2）求正方形ABCD的边长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，

∵AM=AN，

在Rt△ABM和Rt△ADN中，

，

∴△ABM≌△ADN（HL），

∴∠BAM=∠DAN，

∵∠MAN=30°，∠BAD=90°，

∴∠BAM=30°．

（2）解：作MH⊥AN于H．设BM=x，则AM=AN=2x，MH=x，

∵ ANMH=1，

∴ 2xx=1，

解得x=1或﹣1（舍弃），

∴AB= BM= ，

∴正方形ABCD的边长为 ．

【解析】（1）只要证明△ABM≌△ADN（HL），推出∠BAM=∠DAN，由∠MAN=30°，∠BAD=90°，即可推出∠BAM=30°；（2）作MH⊥AN于H．设BM=x，则AM=AN=2x，MH=x，根据 ANMH=1，列出方程即可；
【考点精析】关于本题考查的正方形的性质，需要了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能得出正确答案．