Question

【题目】如图所示，将△ABC沿直线BC方向平移△DEF的位置，G是DE上一点，连接AG，过点A、D作直线MN．

（1）求证：∠AGE=∠GAD+∠ABC；
（2）若EDF=∠DAG，∠CAG+∠CEG=180°，判断AG与DE的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：由平移的性质得：△ABC≌△DEF，

∴AB=DE，AB∥DE，

∴四边形ABED为平行四边形，

∴AD∥BF，∠ADG=∠ABC，

∴∠ADG=∠DEF，

∴∠ABC=∠DEF=∠ADG，

∵∠AGE为△ADG的外角，

∴∠AGE=∠DAG+∠ADG=∠GAD+∠ABC

（2）解：AG⊥DE，理由为：

由平移的性质得到∠EDF=∠BAC，

∵∠EDF=∠DAG，

∴∠BAC=∠DAG，

∵AB∥DE，

∴∠ABC+∠BEG=180°，

∵∠CAG+∠CEG=180°，

∴∠ABC=∠CAG，

∵MN∥BC，∴∠ABC=∠MAB，

∴∠MAB=∠CAG，

∵∠MAB+∠BAC+∠CAG+∠DAG=180°，

∴∠CAG+∠BAC=90°，即∠BAG=90°，

∵AB∥DE，

∴∠BAG+∠AGD=90°，

则AG⊥DE．

【解析】（1）利用平移的性质得到AB与DE平行且相等，得到四边形ABED为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对角相等，利用外角性质即可得证；（2）AG垂直与DE，理由为：由平移的性质得到∠EDF=∠BAC，根据∠EDF=∠DAG，等量代换得到∠BAC=∠DAG，由AB与DE平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，等量代换得到∠ABC=∠CAG，利用等式的性质及平行线的性质即可得证．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行线的判定与性质的相关知识，掌握由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质，以及对多边形内角与外角的理解，了解多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）180°.多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°．