Question

【题目】如图，直线y=kx+b过点A（5，0）和点C，反比例函数y=（x＜0）过点D，作BD∥x轴交y轴于点B（0，﹣3），且BD=OC，tan∠OAC=．

（1）求反比例函数y=（x＜0）和直线y=kx+b的解析式；

（2）连接CD，判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=，y=﹣x+2；（2）AC⊥CD.

【解析】分析：（1）由A点坐标可求得OA的长，再利用三角函数的定义可求得OC的长，可求得C、D点坐标，再利用待定系数法可求得直线AC的解析式；

（2）由条件可证明△OAC≌△BCD，再由角的和差可求得∠OAC+∠BCA=90°，可证得AC⊥CD．

详解：（1）∵A（5，0），∴OA=5．

∵tan∠OAC==．

解得：OC=2，∴C（0，2），∴BD=OC=2．

∵B（0，﹣3），BD∥x轴，∴D（﹣2，﹣3），∴m=﹣2×（﹣3）=6，∴y=．

设直线AC关系式为y=kx+b．

∵过A（5，0），C（0，2），∴，

解得：，∴y=﹣+2；

（2）∵B（0，﹣3），C（0，2），∴BC=5=OA．

∵x轴⊥y轴，∠AOC=∠COE=90°，BD∥x轴，

∴∠COE=∠DBC=90°，∴∠AOC=∠DBC．

在△OAC和△BCD中，

∴△OAC≌△BCD（SAS），

∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，

∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，

∴AC⊥CD．