Question

【题目】定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．
性质：“朋友三角形”的面积相等．
如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线．
那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且S△ACD=S△BCD ．
应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=4，BC=6，点E在BC上，点F在AD上，BE=AF，AE与BF交于点O．

（1）求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
（2）连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积．
拓展：如图3，在△ABC中，∠A=30°，AB=8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，则△ABC的面积是（请直接写出答案）．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AD∥BC，

∴∠OAF=∠OEB，

在△AOF和△EOB中， ，

∴△AOF≌△EOB（AAS），

∴OF=OB，

则AO是△ABF的中线．

∴△AOB和△AOF是“朋友三角形”

（2）8或8
【解析】（2）解：∵△AOF和△DOF是“朋友三角形”，
∴S△AOF=S△DOF ，
∵△AOF≌△EOB，
∴S△AOB=S△EOB ，
∵△AOB和△AOF是“朋友三角形”
∴S△AOB=S△AOF ，
∴S△AOF=S△DOF=S△AOB=S△EOB ， = ×4×2=4，
∴四边形CDOE 的面积=S梯形ABCD﹣2S△ABE= ×（4+6）×4﹣2×4=12；
拓展：解：分为两种情况：①如图1所示：

∵S△ACD=S△BCD ．
∴AD=BD= AB=4，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D= AB= ×8=4，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，
∴S△DOC= S△ABC= S△BDC= S△ADC= S△A′DC ，
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC=A′D=4，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB=8，∠BAC=30°，
∴BM= AB=4=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC= =4 ，
∴△ABC的面积= ×BC×AC= ×4×4 =8 ；
②如图2所示：

∵S△ACD=S△BCD ．
∴AD=BD= AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D= AB= ×8=4，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，
∴S△DOC= S△ABC= S△BDC= S△ADC= S△A′DC ，
∴DO=OA′，BO=CO，
∴四边形A′BDC是平行四边形，
∴A′C=BD=4，
过C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=4，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ= A′C=2，
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2× ×A′D×CQ=2× ×4×2=8；
即△ABC的面积是8或8 ；
所以答案是：8或8 ．