Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B，其对称轴是x=-1，点C是y轴上一点，其纵坐标为m，连结AC，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，以AC、AD为边作正方形ACED．

（1）用含m的代数式表示点D的横坐标为 ．

（2）求该抛物线所对应的函数表达式．

（3）当点E落在抛物线y=ax2+bx+2上时，求此时m的值．

（4）令抛物线与x轴另一交点为点F，连结BF，直接写出正方形ACED的一边与BF平行时的m的值．

Answer 1

【答案】（1）m+1；（2）y=-x2-x+2；（3）或；（4）或-．

【解析】

试题分析：（1）作DH⊥x轴于H，如图1，先利用等角的余角相等得到∠ACO=∠DAH，则可根据“AAS”证明△ACO≌△DAH，所以AH=OC=m，易得点D的横坐标为m+1；

（2）利用对称轴方程和二次函数图象上点的坐标特征列方程组，解方程组求出a和b即可得到抛物线的解析式；

（3）作EG⊥y轴于G，如图1，通过与（1）方法一样证明△ACO≌△CEG得到GE=OC=m，CG=OA=1，则E点坐标为（m，m+1），然后把E点坐标代入（2）中解析式得到关于m的方程，再解方程即可得到m的值；

（4）先通过解方程-x2-x+2=0得F（-3，0），计算当x=0时的函数值得到B（0，2），讨论：当点C在y轴的正半轴上，即m＞0时，如图1，证明△ADH∽△FBO，利用相似比可得到m的值；当点C在y轴的负半轴上，即m＜0时，如图2，证明△AOC∽△FOB，利用相似比可计算出m．

试题解析：（1）作DH⊥x轴于H，如图1，

∵四边形ADEC为正方形，

∴AC=AD，∠CAD=90°，

∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠DAH=90°，

∴∠ACO=∠DAH，

在△ACO和△DAH中，

，

∴△ACO≌△DAH，

∴AH=OC=m，

∴OH=OA+AH=m+1，

∴点D的横坐标为m+1；

（2）根据题意得，解得，

故抛物线的解析式为y=-x2-x+2；

（3）作EG⊥y轴于G，如图1，

与（1）方法一样可证明得△ACO≌△CEG，则GE=OC=m，CG=OA=1，

∴E点坐标为（m，m+1），

把E（m，m+1）代入y=-x2-x+2得-m2-m+2=m+1，

整理得2m2+7m-3=0，解得m1=，m2=，

即m的值为或；

（4）当y=0时，-x2-x+2=0，解得x1=-3，x2=1，则F（-3，0），

当x=0时，y=-x2-x+2=2，则B（0，2），

当点C在y轴的正半轴上，即m＞0时，如图1，

∵AD∥BF，

∴∠DAH=∠BFO，

∴△ADH∽△FBO，

∴AH：OF=DH：OB，即m：3=1：2，解得m=；

当点C在y轴的负半轴上，即m＜0时，如图2，

∵AC∥BF，

∴∠ACO=∠OBF，

∴△AOC∽△FOB，

∴AO：OF=OC：OB，1，即1：3=-m：2，解得m=-，

即m的值为或-．